W świecie matematyki, liczby są naszymi podstawowymi narzędziami. Podobnie jak rzemieślnik potrzebuje różnych narzędzi do wykonania swojej pracy, tak matematyk potrzebuje różnych rodzajów liczb do rozwiązywania problemów. Dziś rozpoczynamy naszą podróż przez fascynujący świat liczb rzeczywistych. Poznamy podstawowe działania, które możemy na nich wykonywać, oraz dowiemy się, jak te działania wpływają na wynik. Będziemy również eksplorować praktyczne zastosowania liczb rzeczywistych w życiu codziennym.
Poniżej znajdziesz 7 najważniejszych praw działań na potęgach- za moment zaczniesz je wykorzystywać zmierzając się z prawdziwymi zadaniami maturalnymi. Do dzieła!
1. Mnożenie potęg o tej samej podstawie: $$ a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n} $$
2. Dzielenie potęg o tej samej podstawie: $$ \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}, \quad a \neq 0 $$
3. Potęga potęgi: $$ \left( a^{m} \right)^{n} = a^{m \cdot n} $$
4. Potęga iloczynu: $$ (a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n} $$ 5. Potęga ilorazu: $$ \left( \frac{a}{b} \right)^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}, \quad b \neq 0 $$
6. Zero wykładnik: $$ a^{0} = 1, \quad a \neq 0 $$
7. Ujemny wykładnik: $$ a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}, \quad a \neq 0 $$
Mnożenie potęg o tej samej podstawie
Oblicz:
a) $2^{3} \cdot 2^{2}$
b) $5^{1} \cdot 5^{4} $
c) $ 3^{0} \cdot 3^{6}$
d) $\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{3} $
e) $4^{5} \cdot 4^{-2}$
f) $\left(-2\right)^{4} \cdot \left(-2\right)^{2}$
g) $10^{3} \cdot 10^{4}$
h) $\left(\frac{5}{2}\right)^{3} \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^{2}$.
W tym zadaniu musisz wykorzystać wzór: $ a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n} $. Zobacz, rozwiążemy krok po proku przykład a), a Ty spróbujesz rozwiązać pozostałe. Zobacz, po skorzystaniu z powyższego wzoru mamy: $$2^{3} \cdot 2^{2}=2^{3+2} = 2^{5} = 32.$$
Rozwiązanie wszystkich przykładów:
a) $
2^{3+2} = 2^{5} = 32
$
b) $
5^{1+4} = 5^{5} = 3125
$
c) $
3^{0+6} = 3^{6} = 729
$
d) $
\left(\frac{2}{3}\right)^{2+3} = \left(\frac{2}{3}\right)^{5} =\frac{2^5}{3^5} = \frac{32}{243}
$
e) $
4^{5 + (-2)} = 4^{3} = 64
$
f) $
\left(-2\right)^{4+2} = \left(-2\right)^{6} = 64
$
g)$
10^{3+4} = 10^{7} = 10\,000\,000
$
h) $
\left(\frac{5}{2}\right)^{3+2} = \left(\frac{5}{2}\right)^{5}=\frac{5^5}{2^5} = \frac{3125}{32}
$
Treść Zadania
Tutaj wpisz treść zadania matematycznego z kodem LaTeX, np. Oblicz wartość wyrażenia \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \).
Tutaj wpisz podpowiedź do zadania, np. skorzystaj z wzoru \( a^2 + b^2 = c^2 \).
Tutaj wpisz rozwiązanie zadania, np. \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \).
Przykład
Tutaj wpisz treść przykładu matematycznego z kodem LaTeX, np. Oblicz wartość wyrażenia \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \).
